Aufgaben zur Ableitung der Exponentialfunktion

(Quelle: http://www.ina-de-brabandt.de/analysis/e/e-funktion-ableiten.html)

1. Leiten Sie zweimal ab.
   1. f(x) = e^x + x²
   2. f(x) = 3e^x − 0,5x² + x
2. Bilden Sie die ersten beiden Ableitungen mithilfe der Kettenregel.
   1. f(x) = e^−x + e^x
   2. f(x) = e^−2x − 4e^−x
3. Leiten Sie einmal mit der Produktregel ab.
   1. f(x) = (3x − 4)e^x
   2. f(x) = (x² − 2x − 1)e^x
4. Bestimmen Sie die ersten drei Ableitungen von f(x) = 2x e^−x.
   Stellen Sie eine Vermutung auf, wie die zehnte Ableitung f⁽¹⁰⁾(x) lautet.
5. Berechnen Sie die erste Ableitung.
   1. f(x) = (x + 3)e^2x+1
   2. f(x) = (8 − 4x)e^−0,5x
   3. f(x) = e^−x(3 − e^−x)
   4. f(x) = (x² + 2x)e^1−x
   5. 
   6. f(x) = 100e^−0,48x(1 − e^−0,12x)
6. Berechnen Sie die erste Ableitung.
   1. f_a(x) = (a − e^x)²
   2. N_k(t) = N₀ · e^−kt(1 − e^−kt)
   3. f_a(x) = (ax + 1)e^1−ax

Lösungen:

Lösungen zur Ableitung der Exponentialfunktion

1. 1. f′(x) = e^x + 2x; f′′(x) = e^x + 2
   2. f′(x) = 3e^x − x + 1; f′′(x) = 3e^x − 1
2. 1. f′(x) = −e^−x + e^x; f′′(x) = e^−x + e^x
   2. f′(x) = −2e^−2x + 4e^−x; f′′(x) = 4e^−2x − 4e^−x
3. 1. f′(x) = (3x − 1)e^x
   2. f′(x) = (x² − 3)e^x
4. f′(x) = (−2x +2)e^−x; f′′(x) = (2x − 4)e^−x; f′′′(x) = (−2x +6)e^−x;
   f⁽¹⁰⁾(x) = (2x − 20)e^−x
5. 1. f′(x) = (2x + 7)e^2x+1
   2. f′(x) = (2x − 8)e^−0,5x
   3. f′(x) = −3e^−x + 2e^−2x = e^−x(−3 + 2e^−x)
   4. f′(x) = (2 − x²)e^1−x
   5. f_a′(x) = (1 − x − 2a)e^−x
   6. f′(x) = −48e^−0,48x + 60e^−0,6x = e^−0,48x(−48 + 60e^−0,12x)
6. 1. f_a′(x) = −2e^x(a − e^x)
   2. N_k′(t) = N₀ ⋅ e^−kt(−k + 2ke^−kt)
   3. f_a′(x) = −a²xe^1−ax